Funzione di Ripartizione (Funzione di Distribuzione Cumulativa - CDF)
La funzione di ripartizione, anche nota come funzione di distribuzione cumulativa (CDF), è una funzione matematica che descrive la probabilità che una variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a un certo valore x.
Formalmente, la funzione di ripartizione di una variabile casuale X è definita come:
F(x) = P(X ≤ x)
dove:
- F(x) è il valore della funzione di ripartizione per il valore x
- P(X ≤ x) è la probabilità che la variabile casuale X sia minore o uguale a x
Proprietà principali della funzione di ripartizione:
- Monotonia non decrescente: F(x) è una funzione non decrescente, ovvero se x₁ < x₂ allora F(x₁) ≤ F(x₂).
- Limiti:
- lim (x → -∞) F(x) = 0
- lim (x → +∞) F(x) = 1
- Continuità a destra: F(x) è continua a destra, ovvero lim (h → 0⁺) F(x + h) = F(x)
- Valori nell'intervallo [0, 1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1 per ogni x.
Tipi di Variabili Casuali:
La forma della funzione di ripartizione dipende dal tipo di variabile casuale:
- Variabili casuali discrete: La funzione di ripartizione è una funzione a gradini. Ad esempio, per una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/variabile%20casuale%20di%20Bernoulli">variabile casuale di Bernoulli</a>, la funzione di ripartizione salta in corrispondenza dei valori 0 e 1.
- Variabili casuali continue: La funzione di ripartizione è una funzione continua. Ad esempio, per una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20normale">distribuzione normale</a>, la funzione di ripartizione è una curva sigmoidale.
Calcolo della Probabilità con la Funzione di Ripartizione:
La funzione di ripartizione può essere utilizzata per calcolare la probabilità che una variabile casuale X appartenga a un intervallo specifico:
- P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
- P(X > a) = 1 - F(a)
- P(X < a) = lim (h → 0⁻) F(a + h). In caso di continuità, P(X < a) = F(a).
- P(X = a) = F(a) - lim (h → 0⁻) F(a + h). Per variabili continue, P(X = a) = 0.
Relazione con la Funzione di Densità di Probabilità (PDF):
Per le variabili casuali continue, la funzione di ripartizione F(x) è l'integrale della funzione di densità di probabilità (PDF) f(x):
F(x) = ∫(-∞ to x) f(t) dt
Viceversa, la PDF è la derivata della CDF:
f(x) = dF(x)/dx
Esempi di Funzioni di Ripartizione Comuni:
- <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20uniforme">Distribuzione Uniforme</a>
- <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20esponenziale">Distribuzione Esponenziale</a>
- <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20di%20Poisson">Distribuzione di Poisson</a>
Importanza:
La funzione di ripartizione è uno strumento fondamentale in statistica e probabilità. Permette di descrivere completamente la distribuzione di una variabile casuale e di calcolare le probabilità associate a diversi eventi. È ampiamente utilizzata in vari campi, tra cui l'ingegneria, la finanza e le scienze naturali.