Cos'è funzione di ripartizione?

Funzione di Ripartizione (Funzione di Distribuzione Cumulativa - CDF)

La funzione di ripartizione, anche nota come funzione di distribuzione cumulativa (CDF), è una funzione matematica che descrive la probabilità che una variabile casuale X assuma un valore minore o uguale a un certo valore x.

Formalmente, la funzione di ripartizione di una variabile casuale X è definita come:

F(x) = P(X ≤ x)

dove:

• F(x) è il valore della funzione di ripartizione per il valore x
• P(X ≤ x) è la probabilità che la variabile casuale X sia minore o uguale a x

Proprietà principali della funzione di ripartizione:

• Monotonia non decrescente: F(x) è una funzione non decrescente, ovvero se x₁ < x₂ allora F(x₁) ≤ F(x₂).
• Limiti:
  • lim (x → -∞) F(x) = 0
  • lim (x → +∞) F(x) = 1
• Continuità a destra: F(x) è continua a destra, ovvero lim (h → 0⁺) F(x + h) = F(x)
• Valori nell'intervallo [0, 1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1 per ogni x.

Tipi di Variabili Casuali:

La forma della funzione di ripartizione dipende dal tipo di variabile casuale:

• Variabili casuali discrete: La funzione di ripartizione è una funzione a gradini. Ad esempio, per una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/variabile%20casuale%20di%20Bernoulli">variabile casuale di Bernoulli</a>, la funzione di ripartizione salta in corrispondenza dei valori 0 e 1.
• Variabili casuali continue: La funzione di ripartizione è una funzione continua. Ad esempio, per una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20normale">distribuzione normale</a>, la funzione di ripartizione è una curva sigmoidale.

Calcolo della Probabilità con la Funzione di Ripartizione:

La funzione di ripartizione può essere utilizzata per calcolare la probabilità che una variabile casuale X appartenga a un intervallo specifico:

• P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)
• P(X > a) = 1 - F(a)
• P(X < a) = lim (h → 0⁻) F(a + h). In caso di continuità, P(X < a) = F(a).
• P(X = a) = F(a) - lim (h → 0⁻) F(a + h). Per variabili continue, P(X = a) = 0.

Relazione con la Funzione di Densità di Probabilità (PDF):

Per le variabili casuali continue, la funzione di ripartizione F(x) è l'integrale della funzione di densità di probabilità (PDF) f(x):

F(x) = ∫(-∞ to x) f(t) dt

Viceversa, la PDF è la derivata della CDF:

f(x) = dF(x)/dx

Esempi di Funzioni di Ripartizione Comuni:

• <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20uniforme">Distribuzione Uniforme</a>
• <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20esponenziale">Distribuzione Esponenziale</a>
• <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/distribuzione%20di%20Poisson">Distribuzione di Poisson</a>

Importanza:

La funzione di ripartizione è uno strumento fondamentale in statistica e probabilità. Permette di descrivere completamente la distribuzione di una variabile casuale e di calcolare le probabilità associate a diversi eventi. È ampiamente utilizzata in vari campi, tra cui l'ingegneria, la finanza e le scienze naturali.